Question

4．已知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4{m}^{2}}$=1（m＞0），如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（0，2），C（1，2）
（Ⅰ）当椭圆C与直线AB相切时，求m的值；
（Ⅱ）若椭圆C与△ABC三边无公共点，求m的取值范围；
（Ⅲ）若椭圆C与△ABC三边相交于不同的两点M，N，求△OMN的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得直线AB的方程，联立椭圆方程，由判别式为0，计算即可得到m的值；
（Ⅱ）由图可知当椭圆C在直线AB的左下方或△ABC在椭圆内时，两者便无公共点．通过判别式小于0，或C在椭圆内，解不等式即可得到所求范围；
（Ⅲ）对m讨论，①当$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜m≤1时，M，N在线段AB上，②当1＜m≤$\sqrt{2}$时，点M，N分别在线段BC，AC上，求得△OMN的面积，化简整理可得S的最大值．

解答 解：（Ⅰ）直线AB的方程：y=-2x+2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2-2x}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=4{m}^{2}}\end{array}\right.$，消去y得2x²-2x+1-m²=0，
由△=4-8（1-m²）=0 得m²=$\frac{1}{2}$，
又m＞0，即有m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
（Ⅱ）由图可知当椭圆C在直线AB的左下方或△ABC在椭圆内时，
两者便无公共点．
①当椭圆C在直线AB的左下方时，
△=4-8（1-m²）＜0 解得0＜m＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$；        
②当且当点C（1，2）在椭圆内时，△ABC在椭圆内，
$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{4}{{m}^{2}}$＜1  又m＞0，m＞$\sqrt{2}$，
综上所述，当0＜m＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$或m＞$\sqrt{2}$时，椭圆与C无公共点；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜m＜$\sqrt{2}$时，椭圆C与△ABC相交于不同的两个点M，N，
又因为当m=1时，椭圆C方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，此时椭圆恰好过点A，B，
①当$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜m≤1时，M，N在线段AB上，此时S≤S_△ABC=1，
当且仅当M，N分别与A，B重合时等号成立；
②当1＜m≤$\sqrt{2}$时，点M，N分别在线段BC，AC上，易得M（$\sqrt{{m}^{2}-1}$，2），N（1，2$\sqrt{{m}^{2}-1}$）
S=S_矩形OACB-S_△OBM-S_△OAN-S_△MNC
=2-$\sqrt{{m}^{2}-1}$-$\sqrt{{m}^{2}-1}$-$\frac{1}{2}$（1-$\sqrt{{m}^{2}-1}$）（2-2$\sqrt{{m}^{2}-1}$）
=2-2$\sqrt{{m}^{2}-1}$-（1-$\sqrt{{m}^{2}-1}$）²，
令t=$\sqrt{{m}^{2}-1}$，则0＜t＜1，S=-t²+1＜1，
综上可得△OMN面积S的最大值为1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆与直线相切、相交的位置关系，通过椭圆的变化研究与三角形的位置关系是解题的关键．