Question

14．若实数a，b，c，d满足（b+2a²-6lna）²+|2c-d+6|=0，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为（　　）

• A． 5
• B． $2\sqrt{5}$
• C． 20
• D． 4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由题设条件：b+2a²-6lna=0，设b=y，a=x，则有：y=6lnx-2x²；2c-d+6=0，设c=x，d=y，则有：y=2x+6，所以（a-c）²+（b-d）²就是曲线y=6lnx-2x²与直线y=2x+6之间的最小距离的平方值，由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值

解答 解：∵实数a、b、c、d满足：
（b+2a²-6lna）²+|2c-d+6|=0
∴b+2a²-6lna=0，设b=y，a=x，
则有：y=6lnx-2x²
2c-d+6=0，设c=x，d=y，则有：y=2x+6，
∴（a-c）²+（b-d）²就是曲线y=6lnx-2x²与直线y=2x+6之间的最小距离的平方值，
对曲线y=6lnx-2x²求导：
y′（x）=$\frac{6}{x}$-4x，
与y=2x+6平行的切线斜率k=2=$\frac{6}{x}$-4x，
解得：x=1或x=-$\frac{3}{2}$（舍去）
把x=1代入y=6lnx-2x²，得：y=-2，
即切点为（1，-2）
切点到直线y=2x+6的距离：
d=$\frac{10}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$
即d²=20，（a-c）²+（b-d）²的最小值就是20．
故选：C．

点评 本题考查导数在求解函数最值中的应用，对数运算法则的应用，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用以及转化思想的应用．