Question

19．给定函数f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$，完成下列问题：
（1）指出函数的奇偶性；（必须说明理由）
（2）指出函数的单调区间；（必须说明理由）
（3）该函数是否存在最值？如存在，求出该最值．

Answer 1

分析 （1）由函数的解析式求出定义域，再判断f（-x）与f（x）的关系，由函数奇偶性的定义可结论；
（2）设u（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=$x+\frac{1}{x}$（x＞0），求出函数u（x）的单调区间，根据对数函数、复合函数的单调性、函数的奇偶性求出f（x）的单调区间；
（3）利用基本不等式求出对数真数的范围，再由对数函数的单调性求出f（x）的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$定义域是{x|x≠0}，
且f（-x）=lg$\frac{{（-x）}^{2}+1}{|-x|}$=lg$\frac{{x}^{2}+1}{|x|}$=f（x），
∴f（x）是偶函数；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg\frac{{x}^{2}+1}{x}，x＞0}\\{lg\frac{{x}^{2}+1}{（-x）}，x＜0}\end{array}\right.$，
设u（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=$x+\frac{1}{x}$（x＞0），则函数u（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∵y=lgx在定义域上是增函数，
∴f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∵偶函数在对称区间上单调性相反，
∴f（x）在（-1，0）上是增函数，在（-∞，-1）上是减函数，
综上得，f（x）在（-∞，-1）、（0，1）上是减函数，在（1，+∞）、（-1、0）上是增函数，
（3）由（2）可得，当x＞0时，u（x）=$x+\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当$x=\frac{1}{x}$时取等号，
∴$lg（x+\frac{1}{x}）$≥lg2，
当x＜0时，-（$x+\frac{1}{x}$）≥2，当且仅当$x=\frac{1}{x}$时取等号，
∴$lg（-x-\frac{1}{x}）≥$lg2，
∴函数f（x）存在最小值是lg2，没有最大值．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，函数的最值，对数函数的单调性的应用，以及复合函数的单调性判断，属于中档题．