Question

9．已知复数$z=a（1+i）+\frac{2}{i}$（a∈R，i为虚数单位）为实数，则${∫}_{0}^{a}$（$\sqrt{4-{x}^{2}}$+x）dx的值为（　　）

• A． 2+π
• B． 2+$\frac{π}{2}$
• C． 4+2π
• D． 4+4π

Answer 1

分析 由复数定义易得a=2，由定积分的几何意和定积分的计算可得．

解答 解：∵$z=a（1+i）+\frac{2}{i}$=a+（a-2）i，（a∈R，i为虚数单位）为实数，∴a=2，
∴${∫}_{0}^{a}$（$\sqrt{4-{x}^{2}}$+x）dx=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx+${∫}_{0}^{2}$xdx，
由定积分的几何意义可知${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示圆x²+y²=4面积的四分之一，为π，
∴=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx+${∫}_{0}^{2}$xdx=π+$\frac{1}{2}{x}^{2}$|${\;}_{0}^{2}$=π+2，
故选：A．

点评 本题考查复数的基本概念和定积分的求解，属基础题