Question

9．若实数a，b，c，d满足（b+2a²-6lna）²+|2c-d+6|=0，（a-c）²+（b-d）²的最小值为m，则函数f（x）=e^x+$\frac{1}{5}$mx-3零点所在的区间为（　　）

• A． $（{-\frac{1}{4}，0}）$
• B． $（{0，\frac{1}{4}}）$
• C． $（{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，1}）$

Answer 1

分析 由题意可得b=6lna-2a²，d=2c+6；而（a-c）²+（b-d）²的几何意义是点（a，b）与点（c，d）的距离的平方；从而化为求函数y=6lnx-2x²上的点到直线y=2x+6的距离的平方的最小值，从而由导数求切点，从而求出m，再由函数零点的判定定理求解即可．

解答 解：∵（b+2a²-6lna）²+|2c-d+6|=0，
∴b+2a²-6lna=0，2c-d+6=0；
即b=6lna-2a²，d=2c+6；
而（a-c）²+（b-d）²的几何意义是点（a，b）与点（c，d）的距离的平方；
故m是函数y=6lnx-2x²上的点到直线y=2x+6的距离的平方的最小值；
令y′=$\frac{6}{x}$-4x=2得，x=1；
故切点坐标为（1，-2）；
故m=$（\frac{|2+6-（-2）|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}）^{2}$=20；
故函数f（x）=e^x+4x-3；
而f（$\frac{1}{4}$）=$\root{4}{e}$+1-3=$\root{4}{e}$-2＜0，
f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$+2-3=$\sqrt{e}$-1＞0；
故f（$\frac{1}{4}$）f（$\frac{1}{2}$）＜0；
故函数f（x）=e^x+$\frac{1}{5}$mx-3零点所在的区间为（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）；
故选：C．

点评 本题考查了导数的几何意义的应用及函数的应用，同时考查了函数零点的判定定理的应用，属于中档题．