Question

4．设$f（x）=\frac{{a{x^2}+bx+1}}{{{e^{x-1}}}}$，已知x=-1和x=1为f（x）的极值点．
（1）求a和b的值；
（2）讨论f（x）的单调性并求其最小值．

Answer 1

分析 （1）先求导，再根据x=-1和x=1为f（x）的极值点，代入继而求出a，b的值，
（2）根据导数函数的单调性和最值的关系即可求出．

解答 解：（I）因为$f'（x）=\frac{{-a{x^2}+（2a-b）x+b-1}}{{{e^{x-1}}}}$，
又x=-1和x=1为f（x）的极值点，
所以f'（-1）=f'（1）=0…（2分）
因为$\left\{{\begin{array}{l}{-3a+2b-1=0}\\{a-1=0}\end{array}}\right.$
解方程组得a=1，b=2． …（6分）
（2）因为a=1，b=2，
所以$f（x）=\frac{{{x^2}+2x+1}}{{{e^{x-1}}}}$，$f'（x）=\frac{{1-{x^2}}}{{{e^{x-1}}}}$，…（7分）
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=1．…（8分）
因为当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f′（x）＜0；
当x∈（-1，1）时，f′（x）＞0，…（10分）
所以f（x）在（-1，1）上是单调递增的；
在（-∞，-1）和（1，+∞）上是单调递减的．…（11分）
又因为当x＞0时，f（x）＞0恒成立．
∴$f{（x）_{min}}=f（-1）=\frac{{{{（-1）}^2}+2（-1）+1}}{{{e^{-1-1}}}}=0$…（13分）

点评 本题考查了导数和函数的单调性极值最值的关系，关键是求导，属于中档题．