Question

14．设定义在（1，e）上的函数f（x）=$\sqrt{lnx+4x-a}$（a∈R），若曲线y=1+sinx上存在（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，则a的取值范围（　　）

• A． （-∞，4+ln2]
• B． （3，4]
• C． （3，4+ln2]
• D． （2，ln2]

Answer 1

分析 根据曲线y=1+sinx得1≤y≤2，由f（x）得a≤4；由f（y₀）=y₀得f（x）=$\sqrt{lnx+4x-a}$=x（x∈（1，2]），
化为a=-x²+4x+lnx（x∈（1，2]），求出3＜a≤4+ln2；由此得出a的取值范围．

解答 解：曲线y=1+sinx上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，得1≤y≤2；
∵f（x）=$\sqrt{lnx+4x-a}$（x∈（1，e）），
∴lnx+4x-a≥0（x∈（1，e））恒成立，
∴a≤lnx+4x（x∈（1，e））恒成立，
令h（x）=lnx+4x（x∈（1，e））恒成立，
∵h′（x）=$\frac{1}{x}$+4＞0，
∴h（x）=lnx+4x在区间（1，e）上单调递增，虽然无最小值，但其值无限接近h（1）=4，
∴a≤4；①
又f′（x）=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{lnx+4x-a}}$•（$\frac{1}{x}$+4）=$\frac{4x+1}{2x\sqrt{lnx+4x-a}}$＞0，
∴函数f（x）=$\sqrt{lnx+4x-a}$在（1，2]上单调递增；
下面证明f（y₀）=y₀；
假设f（y₀）=c＞y₀，则f（f（y₀））=f（c）＞f（y₀）=c＞y₀，不满足f（f（y₀））=y₀；
同理假设f（y₀）=c＜y₀，则不满足f（f（y₀））=y₀；
综上得：f（y₀）=y₀；
∵令函数f（x）=$\sqrt{lnx+4x-a}$=x（x∈（1，2]），化为：a=-x²+4x+lnx（x∈（1，2]），
令g（x）=-x²+4x+lnx（x∈（1，2]）；
g′（x）=-2x+4+$\frac{1}{x}$=$\frac{-{2x}^{2}+4x+1}{x}$＞0恒成立，∴函数g（x）在x∈（1，2]单调递增；
∴g（1）＜g（x）≤g（2），即3＜a≤4+ln2，②
由①②得，a的取值范围是（3，4]．
故选：B．

点评 本题考查了函数的恒成立问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，考查了构造函数思想、等价转化思想等问题，是综合性题目．