Question

12．已知数列{a_n}满足（a_n+1-1）（a_n-1）=3（a_n-a_n+1），a₁=2，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 利用已知条件构造等差数列，然后求解数列{a_n}的通项公式

解答 解：（a_n+1-1）（a_n-1）=3（a_n-a_n+1），等价为（a_n+1-1）（a_n-1）=3[（a_n-1）-（a_n+1-1）]，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$，
即数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差数列，首项为$\frac{1}{{a}_{1}-1}=\frac{1}{2-1}=1$，公差d=$\frac{1}{3}$，
则$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+$\frac{1}{3}$（n-1）=$\frac{n+2}{3}$，
则a_n-1=$\frac{3}{n+2}$，
即a_n=1+$\frac{3}{n+2}$=$\frac{n+5}{n+2}$．

点评 本题考查等差数列通项公式的求法，数列递推关系式的应用，考查计算能力．构造等差数列是解决本题的关键．