Question

15．已知向量$\overrightarrow{b}$为单位向量，向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$夹角为60°，则对任意的正实数t，|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最小值是（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由题意利用两个向量的数量积的定义，结合二次函数的性质求得它的最小值．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|×1×cos60°=$\frac{|\overrightarrow{a}|}{2}$，对任意的正实数t，
∵|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=（t$\overrightarrow{a}$）²-2t$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=（t$\overrightarrow{a}$）²-t|$\overrightarrow{a}$|+1=（t|$\overrightarrow{a}$|-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∴当t|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{1}{2}$时，|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²有最小值$\frac{3}{4}$，
即|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|最小值为$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：C

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，二次函数的性质，属于中档题