Question

6．在?ABCD中，E是AB边所在线上任意一点，若$\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow{CA}+λ\overrightarrow{DA}$（λ∈R），则λ=2．

Answer 1

分析 根据A、M、B三点共线，可得存在实数μ使得$\overrightarrow{AE}$=μ$\overrightarrow{EB}$ 成立，化简整理得 $\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{1+μ}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{μ}{1+μ}$$\overrightarrow{CB}$，结合已知等式建立关于λ、μ的方程组，解之即可得到实数λ的值．

解答 解：∵△ABC中，E是AB边所在直线上任意一点，
∴存在实数μ，使得$\overrightarrow{AE}$=μ$\overrightarrow{EB}$，即$\overrightarrow{CE}$-$\overrightarrow{CA}$=μ（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CE}$），
化简得 $\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{1+μ}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{μ}{1+μ}$$\overrightarrow{CB}$，
∵$\overrightarrow{CE}$=-$\overrightarrow{CA}$+λ$\overrightarrow{DA}$=-$\overrightarrow{CA}$+λ$\overrightarrow{CB}$，∴结合平面向量基本定理，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{1+μ}=-1}\\{\frac{μ}{1+μ}=λ}\end{array}\right.$，
解之得λ=2，μ=-2，
故答案为：2．

点评 本题给出A、M、B三点共线，求用向量$\overrightarrow{CA}$、$\overrightarrow{CB}$表示$\overrightarrow{CE}$的表达式，着重考查了平面向量的线性运算和平面向量基本定理等知识，属于基础题．