Question

17．如图，已知点S（0，3），SA，SB与圆C：x²+y²-my=0（m＞0）和抛物线x²=-2py（p＞0）都相切，切点分别为M，N和A，B，SA∥ON，$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{MN}$，则实数λ的值为（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由圆的切线的性质，结合平行的条件可得四边形MSNO为菱形，由直线和圆相切的条件和勾股定理、弦长公式，解方程可得m=2，直线的斜率为$\sqrt{3}$，可得MN=$\sqrt{3}$，由直线和抛物线相切的条件：判别式为0，可得切点A，B的坐标，可得AB的长为4$\sqrt{3}$，由向量共线定理，即可得到所求值．

解答 解：由S向圆作切线，可得SM=SN，∠MSO=∠NSO，
若SA∥ON，即有四边形MSNO为菱形，
在直角△SMO中，tan∠SMN=$\frac{SO}{\frac{MN}{2}}$=$\frac{3}{MN}$，
圆C：x²+y²-my=0的圆心为（0，$\frac{m}{2}$），半径r=$\frac{m}{2}$，
设切线为y=kx+3，k＞0，
由相切的条件可得$\frac{|3-\frac{m}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{m}{2}$，①
MN=2$\sqrt{（\frac{m}{2}）^{2}-（\frac{3}{2}-\frac{m}{2}）^{2}}$=$\sqrt{6m-9}$，
即有k=$\frac{3}{\sqrt{6m-9}}$，②
将②代入①可得m=2，k=$\sqrt{3}$，
则MN=$\sqrt{3}$，
由y=$\sqrt{3}$x+3和抛物线x²=-2py，
可得x²+2$\sqrt{3}$px+6p=0，
由判别式12p²-24p=0，
解得p=2，
求得切点A（-2$\sqrt{3}$，-3），
由于$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{MN}$，即MN∥AB，
则AB=4$\sqrt{3}$，
即有λ=$\frac{AB}{MN}$=4．
故选：A．

点评 本题考查直线和圆、抛物线相切的条件，向量共线的定理的运用，考查直线和圆相交的弦长公式，以及平面几何的勾股定理，考查运算能力，属于中档题．