Question

8．关于x的方程$x+m=3-\sqrt{4x-{x^2}}$有且只有一个实根，则实数m的取值范围是-1＜m≤3或m=1-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 问题转化为函数y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$与函数y=3-m-x的图象有且只有一个交点，作图求解即可．

解答 解：∵关于x的方程$x+m=3-\sqrt{4x-{x^2}}$有且只有一个实根，
∴函数y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$与函数y=3-m-x的图象有且只有一个交点，
作函数y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$与函数y=3-m-x的图象如下，

结合图象可知，
0≤3-m＜4或3-m=2$\sqrt{2}$+2，
即-1＜m≤3或m=1-2$\sqrt{2}$；
故答案为：-1＜m≤3或m=1-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数的图象与方程的根的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．