Question

2．设a∈R，函数f（x）=lnx-ax
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）已知x₁=$\sqrt{e}$（e为自然对数的底数）和x₂是函数f（x）的两个不同的零点，求a的值并证明：x₂＞e${\;}^{\frac{3}{2}}$．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调性；（2）先求出a的值，得到函数f（x）的表达式，从而证出结论．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
求导数，得f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$．
①若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）是（0，+∞）上的增函数；
②若a＞0，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$．
当x∈（0，$\frac{1}{a}$）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
综上所述，当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的递增区间为
（0，$\frac{1}{a}$），递减区间为（$\frac{1}{a}$，+∞）．
（2）因为x₁=$\sqrt{e}$是函数f（x）的零点，所以f（$\sqrt{e}$）=0，即$\frac{1}{2}$-a$\sqrt{e}$=0，
解得a=$\frac{1}{2\sqrt{e}}$=$\frac{\sqrt{e}}{2e}$．
所以f（x）=lnx-$\frac{1}{2\sqrt{e}}$x．
因为f（${e}^{\frac{3}{2}}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{e}{2}$＞0，f（${e}^{\frac{5}{2}}$）=$\frac{5}{2}$-$\frac{{e}^{2}}{2}$＜0，所以f（${e}^{\frac{3}{2}}$）f（${e}^{\frac{5}{2}}$）＜0．
所以x₂∈（${e}^{\frac{3}{2}}$，${e}^{\frac{5}{2}}$），即：x₂＞${e}^{\frac{3}{2}}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的证明，是一道中档题．