Question

19．若对于任意实数x，有|x+a|-|x+1|＜2a恒成立，则实数a的取值范围是（$\frac{1}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 由条件根据绝对值的意义求得|x+a|-|x+1|的最大值为|a-1|，再由|a-1|＜2a，求得实数a的取值范围．

解答 解：|x+a|-|x+1|表示数轴上的x对应点到-a对应点的距离减去它到-1对应点的距离，
故它的最大值为|a-1|．
由于对于任意实数x，有|x+a|-|x+1|＜2a恒成立，可得|a-1|＜2a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-2a＜a-1＜2a}\end{array}\right.$，求得a＞$\frac{1}{3}$，
故答案为：（$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．