Question

13．已知f（x）=2sinxcosx-2$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用三角函数的图象与性质求得最小正周期和对称中心．
（2）根据三角函数的图象与性质求得函数的单调减区间．
（3）根据x的范围，确定2x-$\frac{π}{3}$的范围，根据三角函数图象的性质求得最大值．

解答 解：（1）f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{6}$≤x≤$\frac{11π}{12}$+kπ，
即函数的减区间为[kπ+$\frac{5π}{6}$，$\frac{11π}{12}$+kπ]（k∈Z）．
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{12}$，函数有最大值2．

点评 本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对三角函数基础公式的应用．