Question

20．已知：a，b，c，（a，b，c∈R）成等比数列，且公比q≠1，求证：1-a，1-b，1-c不可能成等比数列．

Answer 1

分析 利用反证法结合等比数列的定义进行证明即可．

解答 证明：假设1-a，1-b，1-c不成等比数列，------------（2分）
则（1-b）²=（1-a）（1-c）①------------（4分）
∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac，②----------------------（6分）
将②代入①，整理得2b=a+c----------------------（10分）
∴2aq=a+aq²，q²-2q+1=0，
从而q=1，----------------------（14分）
这与已知q≠1矛盾，
∴1-a，1-b，1-c不可能成等比数列-------------------（16分）

点评 本题主要考查等比数列等比关系的判断，利用反证法是解决本题的关键．