Question

12．已知复数z₁=m+ni，z₂=2-2i和z=x+yi，设z=$\overline{{z}_{1}}$i-z₂，m，n，x，y∈R．若复数z₁的对应点M（m，n）在曲线y=$\frac{1}{2}$（x+2）²+$\frac{5}{2}$上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹C的方程．

Answer 1

分析 根据复数的几何意义建立条件关系即可得到结论．

解答 解：∵z₁=m+ni，z₂=2-2i，
∴z=$\overline{{z}_{1}}$i-z₂=（m-ni）i-（2-2i）=（n-2）+（m+2）i，
∵z=x+yi，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=n-2}\\{y=m+2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{n=x+2}\\{m=y-2}\end{array}\right.$，
∵M（m，n）在曲线y=$\frac{1}{2}$（x+2）²+$\frac{5}{2}$上运动，
∴x+2=$\frac{1}{2}$y²+$\frac{5}{2}$，即y²=2x-1，
故复数z所对应的点P（x，y）的轨迹C的方程是y²=2x-1．

点评 本题主要考查动点轨迹的求解，利用复数的几何意义是解决本题的关键．