Question

3．已知f（x）=3x²-x+m，g（x）=lnx．
（1）若函数f（x）与g（x）的图象在x=x₀处的切线平行，求x₀的值；
（2）当曲线y=f（x）与y=g（x）有公切线时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=3x²-x+m，g（x）=lnx，知x＞0，f′（x）=6x-1，g′（x）=$\frac{1}{x}$，由函数f（x）与g（x）的图象在x=x₀处的切线平行，知6x₀-1=$\frac{1}{{x}_{0}}$，由此能求出x₀的值；
（2）公切线的存在问题转化为m=$3{{x}_{1}}^{2}-ln（6{x}_{1}-1）-1$有解的问题即可．

解答 解：（1）∵f（x）=3x²-x+m，g（x）=lnx，
∴x＞0，f′（x）=6x-1，g′（x）=$\frac{1}{x}$，
∵函数f（x）与g（x）的图象在x=x₀处的切线平行，
∴6x₀-1=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
解得x₀=-$\frac{1}{3}$（舍），x₀=$\frac{1}{2}$．
故x₀=$\frac{1}{2}$…（4分）
（2）设两曲线的公切线为l，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\frac{3{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}+m-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=6x₁-1=$\frac{1}{{x}_{2}}$，化简消去x₂得m=$3{{x}_{1}}^{2}-ln（6{x}_{1}-1）-1$，
于是公切线的存在问题转化为上面方程有解的问题，
令h（x）=3x²-ln（6x-1）-1，则h′（x）=$\frac{6（2x-1）（3x+1）}{6x-1}$（其中x＞$\frac{1}{6}$），
由此x=$\frac{1}{2}$时，[h（x）]_min=h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$-ln2，
∴m≥-$\frac{1}{4}$-ln2时，曲线y=f（x）与y=g（x）有公切线…（12分）

点评 本题考查导数的几何意义的求法，考查函数的最小值，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．