Question

13．观察下列式子：1$+\frac{1}{{2}^{2}}＜\frac{3}{2}$，1$+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}＜\frac{5}{4}$，1$+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}＜\frac{7}{8}$…，由此可归纳出的一般结论是$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{{（n+1）}^{2}}＜\frac{2n+1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 利用已知条件，找出规律，然后归纳出的一般结论．

解答 解：下列式子：
1$+\frac{1}{{2}^{2}}＜\frac{3}{2}$，
1$+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}＜\frac{5}{4}$，
1$+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}＜\frac{7}{8}$，
…，
这些不等式的特征是左侧比不等式的个数多一个数，分母是自然数的平方，法则是1的分式的和，右侧分母是2的自然数的幂，分子是第几个不等式的序号的2倍加1．
归纳出的一般结论是：$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{（{n+1）}^{2}}＜\frac{2n+1}{{2}^{n}}$．
故答案为：$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{{（n+1）}^{2}}＜\frac{2n+1}{{2}^{n}}$

点评 本题考查归纳推理，找出表达式的规律是解题的关键．