Question

1．应用二项式定理证明：2ⁿ⁺¹≥n²+n+2（n∈N^*）．

Answer 1

分析 根据 2ⁿ=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$+…+${C}_{n}^{n}$≥${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$=1+n+$\frac{n（n-1）}{2}$，两边同时乘以2，化简可得要证的不等式．

解答 证明：∵2ⁿ=（1+1）ⁿ=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$+…+${C}_{n}^{n}$≥${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$=1+n+$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴2ⁿ≥1+n+$\frac{{n}^{2}-n}{2}$，∴2ⁿ⁺¹≥n²+n+2．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式，用放缩法证明不等式，属于基础题．