Question

16．已知数列{a_n}，a₁≠0，2a_n=a₁（1+S_n）（n∈N^*），S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{n}{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）得b_n=$\frac{n}{a_n}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁≠0，2a_n=a₁（1+S_n）（n∈N^*），
当n=1时，2a₁=a₁（1+a₁），解得a₁=1，
当n＞1时，则2a_n=1+S_n，
∴2a_n-2a_n-1=（1+S_n）-（1+S_n-1）=a_n，
∴a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为2，
∴a_n=2^n-1；
（2）由（1）得b_n=$\frac{n}{a_n}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=1+$\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-2}}$+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，②
①-②得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．