Question

4．已知函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R，
（1）当a=0时，判断函数f（x）的奇偶性；
（2）当$a=\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的单调区间；
（3）当$a≥-\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出a=0时，f（x）的解析式，由偶函数的定义，即可判断；
（2）去绝对值，结合二次函数的对称轴和单调性，可得单调区间；
（3）去绝对值，讨论a的范围，求得单调区间，即可得到最小值．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=x²+|x|+1，定义域为R，
f（-x）=（-x）²+|-x|+1=x²+|x|+1=f（x），
则f（x）为偶函数；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+\frac{1}{2}，x≥\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}-x+\frac{3}{2}，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
当x$≥\frac{1}{2}$时，f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$递增；
当x＜$\frac{1}{2}$时，f（x）=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，递减．
则f（x）的单调减区间为$（-∞，\frac{1}{2}）$，增区间为$（\frac{1}{2}，+∞）$；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-a+1，x≥a}\\{{x}^{2}-x+a+1，x＜a}\end{array}\right.$，
（ⅰ）当$a≥\frac{1}{2}$时，f（x）在$（-∞，\frac{1}{2}）$上递减，在$（\frac{1}{2}，+∞）$上递增，$f{（x）_{min}}=a+\frac{3}{4}$；
（ⅱ）当$-\frac{1}{2}≤a＜\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，a）上递减，在（a，+∞）上递增，$f{（x）_{min}}={a^2}+1$．

点评 本题考查含绝对值函数的奇偶性和单调性及最值求法，注意去绝对值化为二次函数解决，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．