Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{4}{5}$，tanβ=$\frac{4}{3}$，则tanα=$\frac{7}{24}$．

Answer 1

分析 由条件利用两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系求得 tan（α-β）=-$\frac{3}{4}$，再利用两角差的正切公式求得tanα．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=$\frac{4}{5}$，
结合0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，可得α-β∈（-$\frac{π}{2}$，0），故sin（α-β）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=-$\frac{3}{5}$，
∴tan（α-β）=$\frac{sin（α-β）}{cos（α-β）}$=-$\frac{3}{4}$=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{tanα-\frac{4}{3}}{1+\frac{4}{3}tanα}$，求得tanα=$\frac{7}{24}$，
故答案为：$\frac{7}{24}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式的应用，属于基础题．