Question

9．已知正三角形ABC的边长为2$\sqrt{3}$，○O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值为1．

Answer 1

分析 结合图形，利用向量数量积公式把$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$化为三角函数形式，利用和差化积公式化为一个角的三角函数，根据三角函数的值域求得最大值．

解答 解：如图所示，由正△ABC边长等于2$\sqrt{3}$，点P在其内切圆上运动．
∴∠AOB=120°，设AB的中点为D，则半径r=OD=$\frac{AD}{tan∠AOD}$=$\frac{\sqrt{3}}{tan60°}$=1．
OA=OB=0C=2r=2．
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}$）=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OB}$+${\overrightarrow{OP}}^{2}$
=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$•2$\overrightarrow{OD}$+1
=2×2×cos120°-1×2×cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OD}$＞+1
=-1-2•cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OD}$＞，
故当＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OD}$＞=π 时，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值为-1+2=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了向量的数量积公式，正弦定理及三角函数的和差化积公式，数形结合是解答本题的关键，属于中档题．