Question

19．（1）计算$\frac{i-2\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}i}$+（5+i¹⁹）-${（\frac{1+i}{\sqrt{2}}）}^{22}$
（2）已知方程x²+ax+b=0（a，b∈R）有一个根是1+2i，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由于$\frac{i-2\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}i}$=$\frac{i（1+2\sqrt{3}i）}{1+2\sqrt{3}i}$=i，i¹⁹=（i⁴）⁴•i³=-i，$（\frac{1+i}{\sqrt{2}}）^{2}$=$\frac{2i}{2}$=i，代入即可得出．
（2）把1+2i代入方程x²+ax+b=0，利用复数的运算法则、复数相等即可得出．

解答 解　（1）∵$\frac{i-2\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}i}$=$\frac{i（1+2\sqrt{3}i）}{1+2\sqrt{3}i}$=i，i¹⁹=（i⁴）⁴•i³=-i，$（\frac{1+i}{\sqrt{2}}）^{2}$=$\frac{2i}{2}$=i，
∴原式=i+5-i-i¹¹=5-i³=5+i．
（2）∵1+2i是方程x²+ax+b=0的根，
∴（1+2i）²+a（1+2i）+b=0，
∴（-3+a+b）+（4+2a）i=0，
∴-3+a+b=0，4+2a=0
∴a=-2，b=5

点评 本题考查了复数的运算法则、复数相等解、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．