Question

4．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}$c=asinC-$\sqrt{3}$ccosA．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积S=$\sqrt{3}$，求△ABC周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把asinC转化为csinA，进而利用两角和公式整理求得A．
（2）根据题意利用正弦定理求得bc的值，列出周长的表达式，利用不等式的性质确定周长的最小值．

解答 解：（1）∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴asinC=csinA，
∵$\sqrt{3}$c=asinC-$\sqrt{3}$ccosA．
∴$\sqrt{3}$c=csinA-$\sqrt{3}$ccosA，
∴$\sqrt{3}$=sinA-$\sqrt{3}$cosA=2sin（A-60°），
即sin（A-60°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A-60°=60°，
A=120°．
（2）△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$bc=$\sqrt{3}$，
∴bc=4，
三角形周长=a+b+c=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$+b+c=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}+4}$+b+c=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}+4}$+$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}+8}$≥$\sqrt{2bc+4}$+$\sqrt{2bc+8}$=2$\sqrt{3}$+4，当且仅当b=c=2时，取等号．
即三角形周长的最小值为2$\sqrt{3}$+4．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对基础知识的灵活运用．