Question

20．已知集合$A=\left\{{x\left|{\frac{6}{x-1}＞1}\right.}\right\}$，B={x|x²-2x-a²-2a＜0}．
（1）当a=4时，求A∩B；
（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出A中不等式的解集确定出A，把a=4代入B中求出解集确定出B，找出两集合的交集即可；
（2）由A与B的并集为B，得到A为B的子集，分三种情况考虑，①当a=-1时；②当a+2＞-a时；③当a+2＜-a时，分别求出a的范围即可．

解答 解：（1）由题意得：A={x|1＜x＜7}，
当a=4时，B={x|-4＜x＜6}，
∴A∩B={x|1＜x＜6}；
（2）B={x|（x+a）（x-a-2）＜0}，
①当a=-1时，可得B=∅，显然A⊆B不成立；             
②当a+2＞-a，即a＞-1时，B={x|-a＜x＜a+2}，
∵A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}{-a≤1}\\{a+2≥7}\end{array}\right.$，
解得：a≥5；
③当a+2＜-a，即a＜-1时，B={x|a+2＜x＜-a}，
∵A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2≤1}\\{-a≥7}\end{array}\right.$，
解得：a≤-7，
综上，当A∪B=B时，实数a的取值范围是{a|a≤-7或a≥5}．

点评 此题考查了并集及其运算，交集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．