Question

1．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且
PD=AD=2EC=2．
（1）求证：AC∥平面BPE；
（2）求三棱锥B-PAC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，设AC与BD相交于O，取PB的中点H，连接HE，HO．证明四边形OCEH为平行四边形，利用直线与平面平行的判定定理证明AC∥面BPE．
（Ⅱ）利用V_B-PAC=V_P-ABC，求解底面面积与高，即可求出几何体的体积．

解答 证明：（Ⅰ）如图，连接AC，设AC与BD相交于O，
取PB的中点H，连接HE，HO．
∵HO是△BDP的中位线，∴OH$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$PD，
又CE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$PD，∴OH$\stackrel{∥}{=}$CE．
∴四边形OCEH为平行四边形，HE?面PBE，AC?面PBE
∴AC∥面BPE，…（6分）
（Ⅱ）V_B-PAC=V_P-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC•PD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．…（12分）

点评 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查计算能力以及空间想象能力．