Question

1．已知函数f（x）=x（lnx-2ax），a∈R．
（1）若f（x）≤2（0＜x＜1）恒成立，求a的最小值；
（2）若函数f（x）有两个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）问题转化为2a≥$\frac{lnx-2}{x}$恒成立，令g（x）=$\frac{lnx-2}{x}$（0＜x＜1），通过求导得到函数g（x）在（0，1）递增，从而得到2a≥g（1）=-2，进而求出a的最小值；
（2）问题转化为f′（x）=lnx-4ax+1=0有两个不相等的实数根，令g（x）=lnx-4ax+1，通过求导得到函数g（x）的单调性，求出g（x）的最大值，进而求出a的范围．

解答 解：（1）∵0＜x＜1，
∴f（x）≤2（0＜x＜1）恒成立
?x（lnx-2ax）≤2x（0＜x＜1）恒成立
?lnx-2ax≤2（0＜x＜1）恒成立
?2a≥$\frac{lnx-2}{x}$恒成立，
令g（x）=$\frac{lnx-2}{x}$（0＜x＜1），
则g′（x）=$\frac{3-lnx}{{x}^{2}}$，（0＜x＜1），
∵0＜x＜1，
∴g′（x）＞0恒成立，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，
∴2a≥g（1）=-2，
∴a≥-1，a的最小值为-1；
（2）f（x）=x（lnx-2ax）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=lnx-2ax+x（$\frac{1}{x}$-2a）=lnx-4ax+1，
∵函数f（x）有2个极值点，
∴f′（x）=lnx-4ax+1=0有两个不相等的实数根，
当a＞0时，令g（x）=lnx-4ax+1，则g′（x）=$\frac{1}{x}$-4a=$\frac{1-4ax}{x}$，
由g′（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{4a}$，由g′（x）＜0解得：x＞$\frac{1}{4a}$，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{4a}$）上单调递增，在（$\frac{1}{4a}$，+∞）上单调递减，
∴g（x）_最大值=g（$\frac{1}{4a}$）=-ln（4a）＞0，
∴0＜4a＜1，0＜a＜$\frac{1}{4}$，
∴a的范围是（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了函数的单调性、函数的极值问题，考查导数的应用，本题是一道难题．