Question

11．设函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-（a+1）x²+4ax+b，其中a，b∈R．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出单调增区间；
（Ⅱ）函数f（x）在（-1，1）上有且只有一个极值点，等价于f′（x）在（-1，1）上有且只有一个解；由（II）及零点存在定理可得$\left\{{\begin{array}{l}{a＜1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{f'（-1）f'（1）＜0}\end{array}}\right.$，从而可确定a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为f′（x）=x²-2（a+1）x+4a=（x-2a）（x-2），
令f′（x）=0，得x=2a或x=2．
当a＞1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，2），（2a，+∞）；
当a=1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；
当a＜1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，2a），（2，+∞）．       
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=x²-2（a+1）x+4a，
∵f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＜1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{f'（-1）f'（1）＜0}\end{array}}\right.$，
解得-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$．
所以a的取值范围是$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$．

点评 本题考查函数的极值和单调性的应用，解题的关键是对于字母系数a的讨论，注意讨论的过程中做到不重不漏，属于中档题．