Question

20．如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M、N（点M在点N的左侧），且|MN|=3．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆的半径为r吗，根据|MN|=3求出r，即可确定出圆C的方程；
（Ⅱ） 把y=0代入圆方程求出x的值，确定出M与N坐标，当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性得证；当AB与x轴不垂直时，设直线AB解析式为y-k（x-1），与椭圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，设直线AB交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理表示出x₁+x₂，x₁x₂，进而表示出直线AN与直线BN斜率之和为0，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），
依题意，圆心坐标为（r，2），
∵|MN|=3，
∴r2=（$\frac{3}{2}$）²+2²=$\frac{25}{4}$，
∴圆C的方程为（x-$\frac{5}{2}$）²+（y-2）²=$\frac{25}{4}$；
（Ⅱ）把y=0代入方程（x-$\frac{5}{2}$）²+（y-2）²=$\frac{25}{4}$，
解得：x=1，或x=4，即M（1，0），N（4，0），
当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM；
当AB与x轴不垂直时，设直线AB解析式为y=k（x-1），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，
消去y得：（k²+2）x²-2k²x+k²-8=0，
设直线AB交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$，x₁x₂=$\frac{{k}^{2}-8}{{k}^{2}+2}$，
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴k_AN+k_BN=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$=$\frac{k（{x}_{1}-1）}{{x}_{1}-4}$+$\frac{k（{x}_{2}-1）}{{x}_{2}-4}$=$\frac{k（{x}_{1}-1）（{x}_{1}-4）+k（{x}_{2}-1）（{x}_{2}-4）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-4）}$，
∵（x₁-1）（x₂-4）+（x₂-1）（x₁-4）=2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8=$\frac{2（{k}^{2}-8）}{{k}^{2}+2}$-$\frac{10{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$+8=0，
∴k_AN+k_BN=0，∠ANM=∠BNM，
综上所述，∠ANM=∠BNM．

点评 此题考查了直线与圆方程的应用，椭圆的简单性质，圆的标准方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．