Question

9．已知抛物线C：y²=x，过点P（1，0）作直线l交抛物线C于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过A，B分别做抛物线C的切线，两条切线交于点Q．
（1）求x₁x₂，y₁y₂的值；
（2）证明性质：若点（x₀，y₀）（y₀≠0）在抛物线C上，则在此处抛物线的切线斜率为$\frac{1}{2{y}_{0}}$．并求在三角形QAB面积为$\frac{5\sqrt{5}}{4}$时，直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设出直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求得y₁y₂，x₁x₂的值；
（2）分别表示出两个切线方程，联立可求得Q的坐标．表示出点Q到直线AB的距离，线段AB的长度，利用三角形面积公式表示出三角形面积，解方程即可得到m，进而得到直线AB的方程．

解答 （1）解：设直线AB的方程为x=my+1，
与抛物线方程联立得y²-my-1=0，
△=m²+4＞0，
∴y₁y₂=-1，x₁x₂=y₁²y₂²=1；
（2）证明：由y²=x两边对x求导，可得2yy′=1，
即有y′=$\frac{1}{2y}$，
由导数的几何意义知在点（x₀，y₀）（y₀≠0）处的切线斜率为$\frac{1}{2{y}_{0}}$；
∴切线QA的方程为y-y₁=$\frac{1}{2{y}_{1}}$（x-y₁²），
即为x-2y₁y+y₁²=0①
同理过B的切线方程为x-2y₂y+y₂²=0②，
由①②，结合（1）的y₁+y₂=m，y₁y₂=-1，
可得x=-1，y=$\frac{m}{2}$，即有Q（-1，$\frac{m}{2}$），
∵x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8，
∵点Q到直线AB：x=my+1的距离为d=$\frac{|-1-\frac{{m}^{2}}{2}-1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{4+{m}^{2}}{2\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
线段AB的长度为$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{4+{m}^{2}}$，
S=$\frac{1}{2}$•$\frac{4+{m}^{2}}{2\sqrt{1+{m}^{2}}}$•$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{4+{m}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
解得m=±1，
即有直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．

点评 本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，点到直线距离公式的应用．考查了学生分析推理和运算的能力．