Question

15．如图，在△ABC中，∠B为直角，DE⊥AB于E，AC⊥DC，设BC=1．
（1）若∠BAC=30°，∠DAC=45°，试求△ADE的各边之长，由此推出75°的三角函数值；
（2）设∠BAC=α，∠DAC=β（α、β，α+β均为锐角），试推出sin（α+β）的公式．

Answer 1

分析 （1）由C向DE作垂线垂足为F，分别求得AD，AB和BE，进而求得AE和DE，最后求得答案．
（2）根据题意分别求得AC，AD，CD，DF，进而求得DE，最后求得答案．

解答 解：（1）由C向DE作垂线垂足为F，则CF=BE，∠CAB=∠FCA=30°，
∴∠FCD=60°，∠DAE=30°+45°=75°，
根据题意AC=2BC=2=CD，AD=2$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{3}$
∴BE=CF=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴AE=$\sqrt{3}$-1，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{8-4+2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$+1，
∴sin75°=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，cos75°=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
tan75°=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$=2+$\sqrt{3}$
（2）由C向DE作垂线垂足为F，则CF=BE，∠CAB=∠FCA，$\frac{AC}{AD}$=cosβ，
则AC=$\frac{1}{sinα}$，$\frac{DC}{AC}$=tanβ，AD=$\frac{1}{sinαcosβ}$，
∴CD=AC•tanβ=$\frac{tanβ}{sinα}$，
DF=cosα•DC=$\frac{cosα•tanβ}{sinα}$，
∴DE=BC+DF=1+$\frac{cosα•tanβ}{sinα}$，
sin（α+β）=sin∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=（1+$\frac{cosα•tanβ}{sinα}$）•sinαcosβ=sinαcosβ+cosαsinβ．

点评 本题主要考查了三角形中几何计算问题．考查了学生的观察能力和推理能力．