Question

10．将四个编号为1，2，3，4的相同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，
（1）若每个盒子放一个小球，求有多少种放法；
（2）若每个盒子放一球，求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数；
（3）求恰有一个空盒子的放法种数．

Answer 1

分析 （1）把四个编号为1，2，3，4的相同小球全排列即可，
（2）先确定一个1个盒子的号码与小球的号码相同，有4种，再确定，剩下的3个小球只有2种放法，根据分步计数原理可得．
（3）恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2．先从4个小球中任选2个放在一起，与其他两个球看成三个元素，在三个位置排列．

解答 解：（1）若每个盒子放一个小球，把四个编号为1，2，3，4的相同小球全排列，故有$A_4^4$=24种；
（2）假设1号小球放在1号盒子内，先放2号小球，若2号小球放在3号盒子里，则3号小球只能放在4号盒子里，4号小球只能放在2号盒子里，有1种方法，
若2号小球放在4号盒子里，则3号小球只能放在2号盒子里，4号小球只能放在3号盒子里，有1种方法，
故恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种$C_4^1•2$=8种；
（3）恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，
且小球数只能是1、1、2．
先从4个小球中任选2个放在一起，有C²₄种方法，
然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A³₄种放法．
∴由分步计数原理知共有C²₄A³₄=144种不同的放法．

点评 本题考查计数问题，考查排列组合的实际应用，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素，属于中档题．