Question

17．关于二项式${（\sqrt{x}-1）^{2005}}$有下列命题：
①该二项展开式中非常数项的系数和是1；   
②该二项展开式中第六项为$C_{2005}^6•{x^{1999}}$；
③该二项展开式中无有理项；
④当x=100时，${（\sqrt{x}-1）^{2005}}$除以100的余数是49．
其中正确的序号是①④．（注：把你认为正确的命题序号都填上）

Answer 1

分析 ①用特殊值，求出二项式${（\sqrt{x}-1）^{2005}}$展开式中所有非常数项的系数和即可；
②利用通项公式求出展开式中第六项即可；
③该二项展开式中第2006项是-1，为有理项；
④x=100时，按照${（\sqrt{x}-1）^{2005}}$的二项展开式，求出它除以100的余数是多少即可．

解答 解：对于①，令x=1，二项式${（\sqrt{x}-1）^{2005}}$展开式中
所有项的系数和为（1-1）²⁰⁰⁵=0，其中常数项为（-1）²⁰⁰⁵=-1，
∴展开式中所有非常数项的系数和是0-（-1）=1，①正确；
对于②，该二项展开式中第六项为
T₅₊₁=${C}_{2005}^{5}$•${（\sqrt{x}）}^{2000}$•（-1）⁵=-${C}_{2005}^{5}$•x¹⁰⁰⁰，②错误；
对于③，该二项展开式中第2006项是-1，为有理项，∴③错误；
对于④，当x=100时，
${（\sqrt{x}-1）^{2005}}$=（10-1）²⁰⁰⁵
=${C}_{2005}^{0}$•10²⁰⁰⁵-${C}_{2005}^{1}$•10²⁰⁰⁴+${C}_{2005}^{2}$•10²⁰⁰³-…+${C}_{2005}^{2004}$•10-${C}_{2005}^{2005}$
=m•100+20050-1
=（m+200）×100+49，其中m∈N^*，
∴${（\sqrt{x}-1）}^{2005}$除以100的余数是49，④正确．
综上，正确的命题是①④．
故答案为：①④．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了数的整除问题，是综合性问题．