Question

17．设x，y均为正数，且x＞y，求证：x+$\frac{4}{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}}$≥y+3．

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质证明即可．

解答 证明：x-y+$\frac{4}{x2-2xy+y2}$=（x-y）+$\frac{4}{（x-y）2}$（3分）
=$\frac{x-y}{2}$+$\frac{x-y}{2}$+$\frac{4}{（x-y）2}$，（5分）
因为x＞y，x-y＞0，
所以$\frac{x-y}{2}$+$\frac{x-y}{2}$+$\frac{4}{（x-y）2}$≥3$\root{3}{\frac{x-y}{2}•\frac{x-y}{2}•\frac{4}{{（x-y）}^{2}}}$=3，
当且仅当$\frac{x-y}{2}$=$\frac{x-y}{2}$=$\frac{4}{（x-y）2}$取等号，
此时x-y=2．（10分）

点评 考查对于不等式：a+b+c≥3$\root{3}{abc}$的运用，是一道基础题．