Question

6．若a、b∈R，下列4个命题：①a+b≥2$\sqrt{ab}$；②a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³；③a²+b²≥2（a+b-1）；④$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥2，其中真命题的序号是③（写出所有正确的序号）

Answer 1

分析 根据特殊值判断①②④错误，根据不等式的性质判断③正确．

解答 解：①a+b≥2$\sqrt{ab}$，若a=-1，b=-1不成立；
②a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³，a=0，b=0时，不成立；
③∵（a-1）²+（b-1）²≥0，
∴a²-2a+1+b²-2b+1≥0，
∴a²+b²≥2（a+b-1），故③成立；
④$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥2，a=-1，b=-1时，不成立，
其中真命题的序号是③，
故答案为：③．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．