Question

11．将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到y=sinx的图象．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，3π]时，方程f（x）=m有唯一实数根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式．
（2）由题意可得当x∈[0，3π]时，函数f（x）的图象和直线y=m只有一个交点，数形结合可得m的范围．

解答 解：（1）将y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到y=sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象，保持纵坐标不变，
横坐标变为原来的2倍，
可得y=f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）的图象．
（2）∵x∈[0，3π]，∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∵当x∈[0，3π]时，方程f（x）=m有唯一实数根，∴函数f（x）的图象和直线y=m只有一个交点，
如图所示：故方程f（x）=m有唯一实数根的m的取值范围为（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）∪{1，-1}．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．