Question

16．x＞0，y＞0，xy=x+9y+7，求
（1）xy的最小值；
（2）x+9y的最值．

Answer 1

分析 （1）根据基本不等式便有$x+9y≥6\sqrt{xy}$，这样即可得出$xy-7≥6\sqrt{xy}$，从而得出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{xy＞7}\\{（xy-7）^{2}≥36xy}\end{array}\right.$，解该不等式组便可得出xy的范围，从而得出xy的最小值为49；
（2）而由基本不等式可得$x+9y≥6\sqrt{xy}$，这样由xy的最小值为49即可得出x+9y的最小值，并看出x+9y无最大值．

解答 解：（1）∵x＞0，y＞0；
∴$xy=x+9y+7≥6\sqrt{xy}+7$，当且仅当x=9y=21时取“=”；
∴$xy-7≥6\sqrt{xy}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{xy＞7}\\{（xy-7）^{2}≥36xy}\end{array}\right.$；
解得：xy≥49；
∴xy的最小值为49；
（2）∵xy≥49，x，y＞0；
∴$x+9y≥6\sqrt{xy}≥42$；
即x+9y有最小值42，无最大值．

点评 考查基本不等式的应用，注意基本不等式所具备的条件，以及判断等号能否取到，不等式的性质，一元二次不等式的解法．