Question

15．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b$为平面向量，$\overrightarrow a=（2，-1）$，2$\overrightarrow a+\overrightarrow b$=（1，2），
（1）求$\overrightarrow b$；     
（2）求向量$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）根据向量的基本运算进行化简求解即可．
（2）向量$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的投影为$|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}$，代入已知数据，计算可得．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（2，-1）$，2$\overrightarrow a+\overrightarrow b$=（1，2），
∴$\overrightarrow b$=（1，2）-2$\overrightarrow a$=（1，2）-2（2，-1）=（1，2）-（4，-2）=（-3，4），
故$\overrightarrow b=（-3，4）$．
（2）$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影为$|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-3×2-1×4}{\sqrt{{2}^{2}+1}}=\frac{-10}{\sqrt{5}}$=$-2\sqrt{5}$．

点评 本题考查向量的基本运算以及向量的投影的求解，化为数量积来求是解决问题的关键，属基础题．