Question

10．如图所示，在△ABC中，D为BC的中点，BP⊥DA，垂足为P，且$|{\overrightarrow{BP}}|=4$，则$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BP}$=（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． 16
• D． 32

Answer 1

分析 由题意可得：$\overrightarrow{BC}$=$2\overrightarrow{BD}$=$2（\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PD}）$，利用向量数量积的公式和定义进行化简，结合$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{PD}$=0，进行求解即可．

解答 解：∵D为BC的中点，
∴$\overrightarrow{BC}$=$2\overrightarrow{BD}$=$2（\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PD}）$，
故$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BC}$=$2\overrightarrow{BP}•（\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PD}）$=$2{\overrightarrow{BP}}^{2}$+2$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{PD}$，
∵BP⊥AD，∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{PD}$=0，
又$|{\overrightarrow{BP}}|=4$，
故$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BC}$=$2{\overrightarrow{BP}}^{2}$=2×4²=32，
故选：D．

点评 本题考查向量的数量积的运算，得出$\overrightarrow{BC}$=$2\overrightarrow{BD}$=$2（\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PD}）$，从而进行代换是解决问题的关键，属中档题．考查学生的化简和转化能力．