Question

已知函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a＞b＞c)图象上两点A(m₁，f(m₁))、B(m₂，f(m₂))，且f(x)满足f(1)＝0，a²＋[f(m₁)＋f(m₂)]·a＋f(m₁)·f(m₂)＝0．

(1)求证：b≥0；

(2)求证：f(x)的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是[2，3)．

(3)问能否得出f(m₁＋3)、f(m₂＋3)中至少有一个为正数？请证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵f(m1)、f(m2)满足a2＋[f(m1)＋f(m2)]a＋f(m1)f(m2)＝0， 　　即[a＋f(m1)][a＋f(m2)]＝0，∴f(m1)＝－a或f(m2)＝－a． 　　又∵m1或m2是f(x)＝－a的一个实根，∴Δ≥0，即b2＋4ab≥0，b(b＋4a)≥0． 　　又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0．∴3a－c＞0．∴b＋4a＝3a－c＞0．∴b≥0; 　　(2)证明：设ax2＋bx＋c＝0的两根为x1、x2，则一个根为1，另一个根为，∵a＞0，c＜0，∴＜0．∵a＞b＞c且b＝－a－c≥0，∴a＞－a－c＞c． ∴－2＜≤－1，2≤|x1－x2|＜3; 　　(3)解：设f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＝a(x－1)(x－)．由已知f(m1)＝－a或f(m2)＝－a，不妨设f(m1)＝－a，则(m1－1)(m1－)＝－a＜0． 　　∴＜m1＜1．∴m1＋3＞＋3＞1．∴f(m1＋3)＞f(1)＝0．∴f(m1＋3)＞0． 　　同理，当f(m2)＝－a时，有f(m2＋3)＞0，因此f(m2＋3)或f(m1＋3)中至少有一个为正数．