Question

【题目】已知函数, ．

（Ⅰ）当x≥0时，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范围；

（Ⅱ）当x＜0时，研究函数F（x）=h（x）﹣g（x）的零点个数；

（Ⅲ）求证：（参考数据：ln1.1≈0.0953）．

Answer 1

【答案】(1) a的取值范围为（﹣∞，1]；(2)见解析.

【解析】

构造辅助函数，，根据的取值范围，求导，确定函数的单调性，根据函数的单调性求出的最小值，即可得到的取值范围

当在上变化时，讨论函数和的图象公共点的个数，即讨论的零点的个数，分类讨论，确定函数的单调性，即可得出结论

由可知当时，，对恒成立，令，，则，即可得证

（Ⅰ）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0）

则

①若a≤1，则，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）递增，

H（x）≥H（0）=0，

即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，满足，a≤1，

a的取值范围（﹣∞，1]；

②若a＞1，在[0，+∞）递增，

H'（x）≥H'（0）=1﹣a且1﹣a＜0，

且x→+∞时，H'（x）→+∞，

则x0∈（0，+∞）使H'（x0）=0进而H（x）在[0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，

所以当x∈（0，x0）时H（x）＜H（0）=0，

即当x∈（0，x0）时，f（x）＞h（x），不满足题意，舍去；

综合①，②知a的取值范围为（﹣∞，1]；

（Ⅱ）依题意得，则F'（x）=ex﹣x2+a，

则F'（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）递增，

所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞时，F'（x）→﹣∞；

①若1+a≤0，即a≤﹣1，则F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，故F（x）在（﹣∞，0）递减，

∴F（x）＞F（0）=0，F（x）在（﹣∞，0）无零点；

②若1+a＞0，即a＞﹣1，则使，

进而F（x）在递减，在递增，

且x→﹣∞时，，

F（x）在上有一个零点，在无零点，

故F（x）在（﹣∞，0）有一个零点．

综合①②，当a≤﹣1时无零点；当a＞1时有一个公共点．

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，

令，则即；

由（Ⅱ）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，

令，则，

∴；

故有．