Question

10．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A=$\frac{π}{3}$，b=2acosB，c=1，
（1）求角B的大小．
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦定理可得：sinB=2sinAcosB=$\sqrt{3}$cosB，利用同角三角函数基本关系式可求tanB=$\sqrt{3}$，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可得解B的值．
（2）由（1）及三角形内角和定理可得三角形为等边三角形，利用三角形的面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵A=$\frac{π}{3}$，b=2acosB，
∴利用正弦定理可得：sinB=2sinAcosB=$\sqrt{3}$cosB，
∴tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{π}{3}$，c=1，
∴C=π-A-B=$\frac{π}{3}$，a=b=c=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×1×$sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．