Question

已知函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意x₁∈D存在唯一的x₂∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=C，则称常数C是函数f（x）在D上的“顶级数”．若函数f（x）=log₂x，（x∈[1，2]），则f（x）在[1，2]上的顶级数是

1

．

Answer 1

分析：由题意可得 log₂（x₁•x₂）=C，即 x₁•x₂=2^C．当 x₁=1时，由x₂=2^C≤2，可得C≤1．当x₁=2时，由x₂=2^C-1≥1，可得C≥1，综上可得C的值．

解答：解：对于函数y=log₂x，定义域为[1，2]，值域为[0，1]，且单调递增，
若对任意x₁∈[1，2]，存在唯一的x₂∈[1，2]，使 f（x₁）+f（x₂）=C成立，
则有 log₂（x₁•x₂）=C，即 x₁•x₂=2^C．
当 x₁=1时，x₂=

2C

x1

=2^C≤2，∴C≤1．
当x₁=2时，由x₂=

2C

x1

=2^C-1≥1，可得C≥1． 
综上，C=1，即f（x）在[1，2]上的顶级数是1，
故答案为 1．

点评：本题着重考查了抽象函数的应用，充分理解各基本初等函数的定义域和值域，是解决本题的关键，
属于基础题．