Question

设

OM

=(1，

1

2

)，

ON

=(0，1)，O为坐标原点，动点P（x，y）满足0≤

OP

•

ON

≤1，0≤

OP

•

OM

≤1则z=y-x的最小值是

3

2

．

Answer 1

分析：利用向量的数量积求出x，y的约束条件，画出可行域，将目标函数变形得到z的几何意义，画出目标函数对应的直线，数形结合求出最值．

解答：解：∵点P（x，y）
∴

OP

=（x，y）
∵

OM

=（1，

1

2

），

ON

=（0，1）
∴

OP

•

OM

=x+

1

2

y，

OP

•

ON

=y
∵0≤

OP

•

ON

≤1，0≤

OP

•

OM

≤1
∴0≤x+

1

2

y≤1，0≤y≤1 
作出该不等式组所确定的平面区域，如图所示的阴影部分，作直线L：y-x=0，然后把直线L向可行域方向平移，
由目标函数Z=y-x可得y=x+Z，则Z为直线y=x+z在y轴的截距，从而可知向上平移是，Z变大，向下平移时，Z变小
到A时Z有最大值，当移到C时Z最小值
由 y=1 2x+y=0   可得A（-

1

2

，1），此时Z最大=y-x=

3

2

即Z的最大值为

3

2

故答案为：

3

2

点评：本题以向量的数量积的坐标表示为载体，主要考查了利用线性规划的知识求解目标函数的最值，属于知识的综合性应用．