Question

（2008•武汉模拟）已知数列{a_n}的前n项和S_n=[2+（-1）ⁿ]•n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式，
（2）若b_n=（a_n-t）（-1）ⁿ（t为常数），且数列{b_n}是等差数列，求常数t的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意要利用S_n=[2+（-1）ⁿ]•n求数列{a_n}的通项公式需利用n≥2时a_n=s_n-s_n-1来求但要对a₁的验证．
（2）由于数列{b_n}是等差数列可利用特殊项也构成等差数列即2b₂=b₁+b₃再结合b_n=（a_n-t）（-1）ⁿ即可求出t．

解答：解：（1）当n≥2时a_n=s_n-s_n-1=[2+（-1）ⁿ]•n-[2+（-1）^n-1]（n-1）=（n+1）（-1）ⁿ+2
但当n=1时a₁=s₁=1不适合上式
故an=

1             n=1 (n+1)(-1)n+2  n≥

2
（2）∵数列{b_n}是等差数列
∴2b₂=b₁+b₃
∵b_n=（a_n-t）（-1）ⁿ
∴2（a₂-t）=-（a₁-t）-（a₃-t）
∴t=

9

4

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的求法和等差数列性质的应用．解题的关键是第一问当求出n≥2时a_n=（n+1）（-1）ⁿ+2要对a₁是否也符合上式进行验证，若符合则数列{a_n}的通项公式可统一用a_n=（n+1）（-1）ⁿ+2来表示否则需写成分段函数的形式．而第二问需分析出b₁，b₂，b₃也成等差数列再利用递推关系式带代求解即可！