Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1 ．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）令cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：Sn=3n2+8n，

∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，

n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；

∵an=bn+bn+1，

∴an﹣1=bn﹣1+bn，

∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．

∴2d=6，

∴d=3，

∵a1=b1+b2，

∴11=2b1+3，

∴b1=4，

∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；

（2）

解：cn= = =6（n+1）2n，

∴Tn=6[22+322+…+（n+1）2n]①，

∴2Tn=6[222+323+…+n2n+（n+1）2n+1]②，

①﹣②可得﹣Tn=6[22+22+23+…+2n﹣（n+1）2n+1]=12+6× ﹣6（n+1）2n+1=（﹣6n）2n+1=﹣3n2n+2，

∴Tn=3n2n+2

【解析】（1）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；
（2）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn ．
本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．