Question

【题目】已知函数f(x)＝ln(ax＋1)(x≥0，a>0)， .

(1)讨论函数y＝f(x)－g(x)的单调性；

(2)若不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，求实数a的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）求导数可得，当时，函数在上单调递增，当时，令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（2）由（1）知，当时，不等式，在时恒成立，当时，可证明存在 使得不等式不成立，综合可得取值范围.

试题解析：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，

y′＝－＝，

当a≥1时，y′≥0，所以函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数；

当0<a<1时，由y′>0得x>2，所以函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递增函数，函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递减函数；

(2)当a≥1时，函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数．

所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，

即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，

当0<a<1时，函数y＝f(x)－g(x)是上的减函数，存在x0∈，使得f(x0)－g(x0)<f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x0)≥g(x0)＋1不成立，

综上，实数a的取值范围是[1，＋∞)．