Question

【题目】已知数列{an}中，a1=2，点列Pn（n=1，2，…）在△ABC内部，且△PnAB与△PnAC的面积比为2：1，若对n∈N*都存在数列{bn}满足 ，则a4的值为 ．

Answer 1

【答案】80
【解析】解：在BC上取点D，使得BD=2CD，则Pn在线段AD上．

∵ ，

∴﹣ an+1 =bn +（3an+2） =bn（ ﹣ ）+（3an+2）（ ﹣ ），

∴（﹣ an+1﹣bn﹣3an﹣2） =﹣bn ﹣（3an+2） =﹣bn ﹣ （3an+2） ，

∵A，Pn，D三点共线，

∴﹣ an+1﹣bn﹣3an﹣2=﹣bn﹣ （3an+2），即an+1=3an+2．

∴a2=3a1+2=8，

a3=3a2+2=26，

a4=3a3+2=80．

所以答案是：80．

【考点精析】解答此题的关键在于理解平面向量的基本定理及其意义的相关知识，掌握如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．